Поворот

Нехай дано точку О і довільну фігуру F(мал. 286). Повернемо точку X цієї фігури навколо точки О на кут а за рухом годинникової стрілки. При цьому точка Х відобразиться на таку точку Х₁, що кутова міра дуги XX₁ з центром О дорівнює а (ОХ і ОХ₁ — рівні радіуси). Якщо таким способом повернути навколо точки О на кут а кожну точку фігури F, то дістанемо фігуру F₁. Говорять, що поворот навколо точки О на кут а відображає фігуру F на фігуру F₁.

Мал. 286

Мал. 287

Точка О називається центром повороту, а кут ХОХ₁ — кутом повороту. Поворот можна здійснювати як за рухом годинникової стрілки, так і проти її руху (мал. 287).

ТЕОРЕМА 17

Поворот навколо точки — переміщення.

ДОВЕДЕННЯ.

Нехай при повороті фігури F навколо точки О на кут а точки А і В цієї фігури відображаються на точки А₁ і В₁ фігури F₁ (мал. 288). Тоді ОА = ОА₁, ОВ = ОВ₁ і AOA₁ = BOB₁. Якщо точки А, В і О не лежать на одній прямій, то ∆АОВ =∆А₁ОВ₁ (за двома сторонами і кутом між ними, оскільки АОВ = A₁OB₁). Отже, в цьому випадку АВ = А₁В₁.

Мал. 288

Мал. 289

Якщо точки А, В і О лежать на одній прямій (мал. 289), то

АВ = |ОА- ОВ| = |OA₁ - ОВ₁| = A₁B₁.

Випадок, коли точка О лежить між А і В, розгляньте самостійно.

Отже, завжди АВ = А₁В₁.

Як бачимо, поворот — один із видів переміщення. Тому при повороті пряма відображається на пряму, будь-яка фігура — на рівну їй фігуру.

Існують фігури, які при повороті навколо однієї з точок переходять самі в себе. З попереднього розділу ви вже знаєте, що центральний кут правильного n-кутника дорівнює. Тому будь-який правильний n-кутник переходить у себе при повороті навколо свого центра на кут.

Наприклад, переходять самі у себе правильні трикутник, чотирикутник і восьмикутник (мал. 290).

Мал. 290

Зверніть увагу!

Поворот на 180° навколо точки О — симетрія відносно цієї точки (мал. 291).

Мал. 291

Правильне і таке означення. Симетрією відносно точки є поворот на 180° навколо цієї точки.

ДЛЯ ДОПИТЛИВИХ

Геометричне поняття поворот слід відрізняти від фізичного обертання. Обертання — це процес, який визначається часом, кутовою швидкістю, кутовим прискоренням тощо. Обертання може бути рівномірним або нерівномірним, здійснюватися на який завгодно великий кут в одному й іншому напрямах. Наприклад, якщо шків (мал. 292) зробить два чи десять повних обертів, кажуть, що він обернувся, відповідно, на 720° чи 3600°. Поворот як геометричне перетворення не пов’язаний із часом чи швидкістю, а є відображенням однієї фігури на іншу, рівну їй.

Вище йшлося про поворот фігури. Але науковці частіше розглядають поворот всієї площини. Поворот площини однозначно можна задати, вказавши його центр О і кут а, де 0 < а ≤ 180°.

Мал. 292